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Eine neue Anerkennung für den irischen Mathematiker William Hamilton

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Der 2. September 2020 markiert die 155. Jahrestag des Todes des irischen Mathematikers William Rowan Hamilton. Heute erweist sich Hamiltons Arbeit als zentral für die Bereiche Feldtheorien wie Elektromagnetismus und Quantenmechanik.

Hamilton wurde in Dublin, Irland, als Sohn eines irischen Anwalts geboren. Im Alter von drei Jahren wurde er zu einem Onkel geschickt, der eine Schule leitete. Dort zeigte Hamilton eine unheimliche Fähigkeit, Sprachen zu lernen, und sprach fließend Hebräisch, Persisch, Arabisch, Hindustani, Sanskrit und Malaiisch.

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Im Alter von 18 Jahren trat Hamilton in das Trinity College in Dublin ein, wo er 1837 zunächst einen BA und dann einen MA in Mathematik erhielt. Während seines Studiums wurde Hamilton zum Royal Astronomer of Ireland ernannt und wechselte zum Dunsink Observatory er verbrachte den Rest seines Lebens.

Hamilton ist am bekanntesten für die Neuformulierung der Newtonschen Mechanik in die Hamiltonsche Mechanik. Er erstellte auch den Hamilton-Pfad, einen nachvollziehbaren Pfad, der jeden Scheitelpunkt von a besucht Polyeder genau einmal.

Ein Polyeder ist eine dreidimensionale Form mit flachen polygonalen (mehrseitigen) Flächen, geraden Kanten und scharfen Ecken oder Scheitelpunkten. Hamiltonsche Pfade in Polyedern wurden auch während der Mathematiker Abraham de Moivre und Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert, des indischen Mathematikers Rudrata aus dem 9. Jahrhundert und des islamischen Mathematikers al-Adli ar-Rumi untersucht.

Symplektische Geometrie

Hamiltons Arbeit führte zu einem neuen Feld namens symplektische GeometrieDies ist die Untersuchung geometrischer Räume mit einer symplektischen Struktur. Eh, was ist eine symplektische Struktur?

Eine symplektische Struktur bietet eine Möglichkeit, die Fläche eines Raums zu messen. Hamilton hat diese Räume bei der Analyse der Bewegung der Planeten entdeckt. In einem solchen Raum können Sie die Form des Raums nur ändern, wenn seine Fläche gleich bleibt.

Während sich ein Planet durch den Raum bewegt, wird seine Position im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten entlang der x-, y- und z-Achse beschrieben. Hamilton sah, dass Sie an jedem Punkt im dreidimensionalen Raum auch drei zusätzliche Koordinaten zuweisen können: xmym, und zm die den Impuls des Planeten entlang jeder Achse angeben.

Somit kann jedem Punkt im dreidimensionalen Raum sechs Koordinaten zugewiesen werden, drei, die seine Position angeben, und drei, die seinen Impuls angeben. Dies wird ein sechsdimensionaler symplektischer Raum. Das Wort "symplektisch" kommt vom griechischen Wort sumplektikós, was "zusammen geflochten" bedeutet. Dies spiegelt die Art und Weise der symplektischen Struktur und komplexe Zahlen sind miteinander verflochten.

Wenn Sie sich an Ihre High-School-Algebra-Klasse erinnern, enthalten komplexe Zahlen ich Das ist die Quadratwurzel von -1. Komplexe Zahlen können in folgender Form geschrieben werden:
a + bi
wo ein spiegelt den Realteil wider, und b ist der Imaginärteil. Sie können einen sechsdimensionalen symplektischen Raum mit drei komplexen Zahlen definieren. Heute wird die symplektische Geometrie in den Bereichen Stringtheorie, Topologie und Spiegelsymmetrie verwendet.

Neben der Erfindung der symplektischen Geometrie gelang Hamilton auch der Durchbruch in Bereichen konjugierter algebraischer Paarfunktionen (komplexe Zahlen werden als geordnete Paare reeller Zahlen konstruiert), der Lösbarkeit von Polynomgleichungen und der Theorie der Fluktuationsfunktionen, die in der Fourier-Analyse verwendet wird.

Quaternionen

Hamilton ist auch der Entdecker von Quaternionen, die ein Zahlensystem sind, das die komplexen Zahlen erweitert. Ein merkwürdiges Merkmal von Quaternionen ist die Multiplikation zweier Quaternionen nicht kommutativ. Kommutativ bedeutet, dass sich das Ergebnis nicht ändert, wenn wir die Reihenfolge der Operanden ändern.

Im reellen Zahlensystem sind "3 + 4 = 4 + 3" und "2 × 5 = 5 × 2" jedoch Division und Subtraktion nicht kommutativ. Zum Beispiel "3 - 5 ≠ 5 - 3".

Quaternionen werden ausgedrückt als:
ein + bich + cj + dk
wo a, b, c, und d sind reelle Zahlen und ich, j, und k sind Quaternionen. Quaternionen waren maßgeblich daran beteiligt, den ersten Mann auf den Mond zu bringen, und sie werden für computergenerierte Grafiken in Filmen verwendet.

Hamiltons Vermächtnis

Am 16. Oktober 1843 gingen Hamilton und seine Frau am Ufer des Royal Canal entlang, als Hamilton an der Broome Bridge einen Eureka-Moment hatte. Hastig kratzte er seine Formel für die Quaternion-Algebra auf die Brücke:
i² = j² = k² = ijk = -1.

Hamilton starb im September 1865 und ist auf dem Mount Jerome Cemetery in Dublin begraben. Im Jahr 2018 markierte die irische National Transport Authority Hamiltons "Graffiti" auf der Broome Bridge, indem sie ein Kunstwerk für den Raum in Auftrag gab.

Im Jahr 2005, dem 200. Geburtstag von Hamilton, gründete das Trinity College Dublin das Hamilton Mathematics Institute. Die Royal Irish Academy hält jährlich einen öffentlichen Hamilton-Vortrag ab, und 1943 wurden von Irland zwei Gedenkmarken zu Ehren von William Hamilton herausgegeben.

Im Jahr 2005 wurde von der irischen Zentralbank eine 10-Euro-Silbermünze zum Gedenken an die 200 Jahre seit Hamiltons Geburt ausgegeben.


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